已知a、b都是正实数,且a+b=2求证:a^2/a+1+b^2/b+1≥1
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a^2/a+1+b^2/b+1
=(a^2(b+1)+b^2(a+1))/(a+1)(b+1)
=(ab(a+b)+a^2+b^2)/(ab+a+b+1)
=(a+b)^2/(ab+3)
=4/(ab+3)
因为a+b=2
所以ab≤1
代入即可得
4/(ab+3)≥1
所以a^2/a+1+b^2/b+1≥1
=(a^2(b+1)+b^2(a+1))/(a+1)(b+1)
=(ab(a+b)+a^2+b^2)/(ab+a+b+1)
=(a+b)^2/(ab+3)
=4/(ab+3)
因为a+b=2
所以ab≤1
代入即可得
4/(ab+3)≥1
所以a^2/a+1+b^2/b+1≥1
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a^2/a+1+b^2/b+1=(a^2-1)/(a+1)+(b^2-1)(b+1)+1/(a+1)+1/(b+1)=a-1+b-1+1/(a+1)+1/(b+1)
=(a+b+2)/(a+1)(b+1)=4/(3+ab)>=4/(3+(a+b)^2/4)=1
其中（a+b）^2=a^2+b^2+2ab>4ab
=(a+b+2)/(a+1)(b+1)=4/(3+ab)>=4/(3+(a+b)^2/4)=1
其中（a+b）^2=a^2+b^2+2ab>4ab
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