Question

简单逆矩阵求解

求一简单矩阵的逆矩阵，毕业2年了，数学知识全还给老师了哈，帮帮忙，急
u -v
v u

Answer 1

设该矩阵为A = (u -v)
(v u)
行列式det(A) = (u)(u) - (v)(-v) = u²+v² ≠ 0，所以存在逆矩阵
余子式矩阵cofA =
(u (-1)(v)) = (u -v)
((-1)(-v) u) (v u)
伴随矩阵adj(A) = (cofA)^T
(u -v)^T
(v u)
=
(u v)
(-v u)

逆矩阵A^-1 = (1/detA)adj(A)
= (1/detA)(cofA)^T
1/(u²+v²) * (u v)
(-v u)
或=
[u/(u²+v²) v/(u²+v²)]
[-v/(u²+v²) u/(u²+v²)]

其实求二阶方阵的逆矩阵有个快捷方法
对于矩阵
(a b)
(c d)
行列式det(A) = ad-bc
伴随矩阵=
(d -b)
(-c a)
所以逆矩阵就是
1/(ad-bc) * (d -b)
(-c a)
=
[d/(ad-bc) -b/(ad-bc)]
[-c/(ad-bc) a/(ad-bc)]

巧妙之处就是对角的a和d互相调换位置，而另一对角的b和c则各加一个负号就可以了，快速吗？

Answer 2

用伴随矩阵的方法 A^-1 = (1/|A|)A* = [1/(u^2+v^2)] *
u v
-v u
=
u/(u^2+v^2) v/(u^2+v^2)
-v/(u^2+v^2) u/(u^2+v^2)

Answer 3

设A=u -v 则
v u
设A0=[A，I]=u -v 1 0
v u 0 1
将A0第一行同时除以u，第二行同时除以v ，得出一个矩阵A1，然后将A1的第二行减去第一行得A2，将A2的第二行除以（u^2+v^2）/uv，得到A3，将A3的第二行乘以-u/v并加到第一行，得到A4，
则A4=1 0 -m n
0 1 n m
同时m=v^2/(u^2+v^2)，n=u^2/(u^2+v^2)。基本上方法就是这样。
则逆矩阵 -m n
n m 即为所求，大学数学系的，毕业1年了，应该就是这样。