Question

抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？

抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？（已知lg2=0.3010）
答案：设至少抽x次，
①则（1-60%）^x＜0.1%，即：
②0.4^x＜0.001，
③∴3/1-2lg2≈7.54，∴x≥8.
我想问从第②步到第③步是如何得到的（详细点）！

Answer 1

对2式两边同时取以10为底的对数lg()，由于lg()是单增函数，所以小于号“<”方向不变，则有：
lg(0.4^x)<lg(10^(-3))
->xlg(0.4)<-3lg(10) （注：lg(a^b)=b*lg(a)）
不等式两边同时除以lg(0.4)，注意除数是负数，不等号改变方向，则有：
x>-3lg(10)/lg(0.4)
其中：lg(10)=1、lg(0.4)=lg(4/10)=lg4-lg(10)=lg4-1=2lg2-1，这里利用了公式：lg(a/b)=lga-lgb，a>0且b>0，所以上式有：
x>3/(1-2lg2)