Question

椭圆上有一点P 让P连接焦点f1和f2 请问P点的纵坐标为什么可以用b^2除a来表示呢

Answer 1

那个点P是特殊的点，
点P是过F1或F2作长轴的垂线与椭圆的交点，共有四个点；
x轴上方的两个点是P1(-c,b²/a)，P2(c,b²/a)；下方的两个是P3(-c,-b²/a)，P4(c,b²/a)
椭圆中，过焦点，垂直于长轴的弦称为通经，通径长=2b²/a，这是一个结论。

追问

麻烦写下推导过程可以吗

追答

椭圆方程：x²/a²+y²/b²=1；
我就以通过右焦点F2(c,0)，垂直于x轴的通经为例，设在第一象限的交点P，
因为PF2垂直于x轴，所以点P的横坐标为c，设点P的纵坐标为y，即P(c,y)；
代入椭圆方程：c²/a²+y²/b²=1；
整理得：y²/b²=1-c²/a²=(a²-c²)/a²
因为椭圆中：a²-c²=b²
所以：y²/b²=b²/a²，即：y²=(b^4)/a²；
点P在第一象限，所以y>0，所以：y=b²/a；

推导过程就是这样，其它三个点也是一样的方法，过程有点小繁琐，所以为了避免每次碰到都这样去推一遍，我们习惯上记住这个结论。