Question

已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(x+3)=—f(x)

已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(x+3)=—f(x)。
（1）求证：y=f（x）是周期函数，并求出它的一个周期
（2）若f（1）=3，f（2）=4，求3f（-5）-2f（14）的值

Answer 1

∵f(x+3)=—f(x) ∴f(x)＝﹣f(x－3) ∴f(x＋3)＝f(x－3)
令t＝x－3 则x＝t＋3 ∴f(t)＝f(t＋6) ∴f(x＋6)＝f(x)
∴ y=f（x）是周期函数，它的一个周期为6
∵f(﹣5)＝f(﹣5＋6)＝f(1)＝3 ∴3f(﹣5)＝9
∵f(14)＝f(8＋6)＝f(8)＝f(2＋6)＝f(2)＝4 ∴2f(14)＝8
∴3f(﹣5)－2f(14)＝9－8＝1

Answer 2

(1)f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=-[-f(x)]=f(x)
所以f(x)是以6为周期的函数
(2)因为周期是6
故有f(-5)=f(-5+6)=f(1)=3
f(14)=f(14-2*6)=f(2)=4
3f(-5)-2f(14)=9-8=1

Answer 3

1）因为f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，所以y=f（x）是以6为周期的周期函数
它的一个周期是6
2）f(-5)=f(1)=3 f(14)=f(8)=f(2)=4
所以3f（-5）-2f（14）=3×3-2×4=1

Answer 4

1，加3就变号，那么加2次3就变回来了，所以函数以6为周期
2，知道了6是周期这一问就太简单了，9减8等于1嘛