Question

数学线性方程组向量的问题。。谢谢各位大神了！

1。向量组A1,A2,A3...An是线性方程组AX=0的一个基础解系，向量组
B1=t1A1+t2A2,
B2=t1A2+t2A3,
B3=t1A3+t2A4,
......
Bn=t1An+t2A1,
其中t1，t2是常数，求当t1，t2满足什么关系时，向量组B1,B2......Bn也是线性方程组AX=0的一个基础解系？答案是t1的n次方加上-1乘以t2的n次方不等于0

2.
设a1,a2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量，证明a1+a2不是A的一个特征向量

Answer 1

设α,β分别是A的属于λ1, λ2的特征向量,而且λ1≠λ2,试证：α+β不可能是A的特征向量

证明: 反证.
假设α+β是A的特征向量, λ是其对应的特征值, 则有
A(α+β) = λ(α+β).
即有 Aα + Aβ = λ(α+β).
把 Aα = λ1α, Aβ = λ2β 代入得
λ1α + λ2β = λ(α+β)
整理得 (λ-λ1)α + (λ-λ2)β = 0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关,
所以 λ-λ1=0, λ-λ2=0.
所以 λ=λ1=λ2.
与已知λ1≠λ2矛盾.
命题得证.