Question

不等式问题！

1.如果对任意x∈R+，不等式|a-log2x|+|4+log2x|≥|a|恒成立，求a的取值范围。
2.已知0<a<b,x=√(a+b)-√b, y=√b-√(b-a),则x,y的大小关系是？

Answer 1

1、因为log2x值域为(负无穷，正无穷)，实质上就是不等式|a-y|+|4+y|大于等于|a|对所有的y成立，在数轴上可以看出不等式左边就是数轴上的点离-4的距离和a的距离之和，显然当y位于-4和a之间时达到最小值，最小值就是-4与a的距离。当a大于等于0时，最小值为a+4》a=|a|，故此时成立。当a位于-4和0之间时，最小值a+4》-a=|a|，得a大于等于-2。当a小于-4时，最小值a+4不可能大于等于
-a=|a|。综上有，a大于等于-2
2、分子有理化，x=a/(根号（a+b)+根号(b))，y=a/(根号(b)+根号(b-a))，x，y的分子一样，x分母比y分母大，因此x<y

Answer 2

第1题：需要知道两个关键知识点：
①绝对值的几何意义：在数轴上，|a-b|表示a，b两个点之间的距离。
②恒成立问题与函数最值的关系：
m≤f(x)恒成立，等价于m≤[f(x)]min；m≥f(x)恒成立，等价于m≥f(x)]max。
本题中，令y=log2x，则对任意x∈R+，不等式|a-log2x|+|4+log2x|≥|a|恒成立，就转化为
对任意y∈R，不等式|a-y|+|4+y|≥|a|恒成立，
在数轴上，由于|a-y|+|4+y|是y到a和y到-4这两点的距离之和，所以它的最小值为这两点间的距离，即|a+4|，从而|a+4|≥|a|，解得　a≥-2。
第2题：需要知道一个重要不等式：m,n∈R+，则
　　　　　　[(m+n)/2]²≤(m²+n²)/2　　　　　　　（1）
（1）式的证明用比差法就行，当然也可以用基本不等式。将（1）两边开方，得
　 (m+n)/2≤√[(m²+n²)]/2　　　　　　　（2）
这是一个很重要的结论。它表明，两个正数的算术平均数小于等于它们的平方平均数，
本题中，令m=√(a+b)，n=√(b-a)，则m²+n²＝2b，代入（2）式，得
[√(a+b)+√(b-a)]/2 ≤ √b
即√(a+b)+√(b-a)≤ 2√b，
√(a+b)- √b ≤ √b- √(b-a)
因为　0<a<b，上式不能取等号，从而　x<y。

Answer 3

1.不等式|a-log2x|+|4+log2x|≥|a|恒成立
令x＝1，代入不等式
|a|+|4|≥|a|
a为全体实数
2.设a＝1，b＝2
则x=√(1+2)-√2=√3-√2
y=√2-√1=√2-1
x<y