Question

高二数学数列的一道大题目数学高手来下

已知bn=1/n,Tn为数列bn前n项和。试问是否存在关于n的整式g(n)使得T1+T2+...+Tn-1=(Tn -1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在求出gn的解析式

Answer 1

T2=1+1/2=3/2 T1=1 T2-1=1/2 g(2)=2
T3=1+1/2+1/3=11/6 T1+T2=5/2 T3-1=5/6 g(3)=3
猜想g(n)=n
证明：1）当n=2时，已证；
2）当n≥2时，假设n=k时等式成立，即
T1+T2+…+T(k-1)=(Tk-1)k
则当n=k+1时
T1+T2+…+T(k-1)+Tk=(Tk-1)k+Tk=(1+k)Tk -k
=(1+k)(T(k+1)-1/(k+1))-k
=(1+k)T(k+1)-k-1
=(T(k+1)-1)(k+1)
等式也成立
综上(1)(2)可得g(n)=n

Answer 2

(Tn -1)g(n)到底是T（n-1），还是Tn-1？
不用猜想法，当n大于等于2时，
T1+T2+...+Tn-1=1+（1+1/2）+（1+1/2+1/3）+……+（1+1/2+1/3+……+1/n-1）
这个式子中有n-1个1，n-2个1/2，n-3个1/3，……，n-（n-2）=2个1/(n-2)，n-（n-1）=1个1/(n-1)
那么可写成T1+T2+...+Tn-1=n-1+（n-2）/2+（n-3）/3+……+[n-(n-1)]/（n-1）
=n+n/2+n/3+……+n/(n-1)-1*（n-1）
=(1/2+1/3+……+1/(n-1))n
而Tn -1=1/2+1/3+……+1/(n-1))，则g(n)=n