Question

已知函数F(X)=AX3-6AX2+B(X属于[-1,2])的最大值为3,最小值为-29,求A.B的值

Answer 1

F(X)的一阶导数=3Ax^2-12Ax=3Ax(x-4)
→x=0处取到极值
又X属于[-1,2]
→x=0处取到最值
显然A≠0
若A>0，易知
x=0处取到最大值
即3=F(0)=A*0^3-6A*0^2+B=B
故B=3,
由单调性
-29=min{F(-1),(2)}
而F(-1)=-A-6A+B=3-7A
F(2)=8A-24A+B=3-16A
由A>0，F(2)<F(-1)
故F(2)=-29
即3-16A=-29
故A=2
若A<0,易知
x=0处取到最小值
即-29=F(0)=A*0^3-6A*0^2+B=B
故B=-29,
由单调性
3=max{F(-1),(2)}
而F(-1)=-A-6A+B=-29-7A
F(2)=8A-24A+B=-29-16A
由A<0，F(2)>F(-1)
故F(2)=3
即-29-16A=3
故A=-2
综上所述，
A=2，B=3
或A=-2，B=-29