Question

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,O,D分别为AB,BC上的点,经过A,D两点的圆O分别交AB,AC于点E,F，

且D为弧EF的中点
（1）求证：BC于圆O相切
（2）当AD=2根号3，∠CAD=30°，求弧AD的长？

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，则OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵ DE弧=DF弧，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；
（2）连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE= AD/cos∠EAD=（2√3）/（√3/2）=4，
∴⊙O的半径r=2，
∴ AD弧的长= 120π×2派/180=4派/3（派为圆周率，这里打不出来）
本题综合考查了解直角三角形、弧长的计算以及切线的判定与性质．在判定圆的切线时，一般情况下是作辅助线：连接圆心O与所求的线段和圆O的交点．