Question

3维向量组1：α1，α2和2：β1，β2都线性无关，证存在非零向量β，β可由向量组1线性表示，也可由2线性表

Answer 1

证明: 因为4个3维向量构成的向量组α1,α2,β1,β2线性相关
所以存在不全为0的数 k1,k2,k3,k4 满足
k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0
令 k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=β.
则 β≠0 (否则由已知得 k1,k2,k3,k4全为0.)
所以存在非零向量β可由两个向量组线性表示.

Answer 2

因为α1，α2，β1，β2是三维向量
若α1，α2，β1线性无关，则β2可以由α1，α2，β1线性表出，不妨设β2=a1α1+a2α2+b1β1
令β=β2-b1β1=a1α1+a2α2即满足条件
若α1，α2，β1线性相关，则β1可由α1，α2线性表出，不妨有β1=a1α1+a2α2
则令β=β1即可