Question

如图，在直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴交于B，连接OA抛物线y=x^从点O沿OA方向平移

与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动。
1）设抛物线顶点M的横坐标为m，则
用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短。
2）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使⊿QMA的面积与⊿PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

）设抛物线顶点M的横坐标为m，则用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短。
解：B(2,0),M(m,2m),抛物线方程变为y=(x-m)^2+2m,令x=2,得y=(2-m)^2+2m=m^2-2m+4,
∴P(2,m^2-2m+4),PB=m^2-2m+4=(m-1)^2+3,当m=1时PB最短。

2）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使⊿QMA的面积与⊿PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
解：抛物线方程为y=(x-1)^2+2,M(1,2)，P(2,3).
作MC⊥x轴于C,S△PMA=梯形AMCB的面积-梯形PMCB的面积=3-5/2=1/2.
设Q(x,(x-1)^2+2),作QD⊥x轴于D.
S△QMA=|梯形AMCB的面积+梯形QABD的面积-梯形QMCD的面积|
=|3+[6+(x-1)^2]*(x-2)/2-[4+(x-1)^2]*(x-1)/2|=|x^2-4x+3|/2,
S△QMA=S△PMA,即x^2-4v+3=土1，解得x=2(舍)，x=2土√2。
∴Q(2+√2，5+2√2)或Q(2-√2，5-2√2)。

Answer 2

（1)解：点O(0,0),点A（2，4）所以线段OA的方程为y=2x，又因为顶点在线段OA上且横坐标为m
所以抛物线的顶点为（m,2m），设抛物线的方程为y=(x-m)^2+2m,点P为直线x=2与抛物线的交点，∴P(2,m^2-2m+4),PB=m^2-2m+4=(m-1)^2+3,当m=1时PB最短。