Question

已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3 对应的特征向量分别为a1,a2,a3,令P=（3a3,2a2,a1),则P^(-1)AP=?

Answer 1

设U=(a3,a2,a1),则P=UP1, 其中P1是单位矩阵的第一列乘3,
第二列乘2后第得的矩阵,且P1的逆矩阵P1^(-1)是是单位矩阵
第一列乘1/3,第二列乘1/2得到的矩阵.
且有 U^(-1)AU=diag(3,2,1),
于是
P^(-1)AP
=P1^(-1)U^(-1)AUP1
=P1^(-1) diag(3,2,1)P1
=diag(1,1,1)P1
=diag(3,2,1)

追问

U^(-1)AU=diag(3,2,1) 是怎么知道的呢？

追答

U= (a3,a2,a1), 则
AU=A(a3,a2,a1)= (Aa3,Aa2,Aa1)= (3a3,2a2,a1)
= (a3,a2,a1)diag(3,2,1) =Udiag(3,2,1)
即AU=Udiag(3,2,1)
两边同时左乘U^(-1)可得
U^(-1)AU=diag(3,2,1).