Question

如图已知在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,以斜边上的高线CO于斜边AB为轴建立直角坐标系已知OA等于1，AC＝根号5

以BC为直径的圆上是否存在点D，使得△BCD△AOC相似，若存在，请写出点D的坐标

提示，有三个答案

Answer 1

△AOC是直角三角形，与其相似只要一个锐角等于∠A
△BCD是以BC为斜边的直角三角形（直径上的圆周角等于90°）
故 可做∠DCB=∠A有两个，其中一个就是O点, 或 ∠DBC=∠A，也有两个，共4个。

OC=√(AC²-OA²)=2
∵Rt△OBC∽Rt△OCA
则 OB:OC=OC:OA
OB=OC²/OA=4
AB=OA+OB=1+4=5
BC=√(AB²-AC²)=2√5
∴圆心坐标为（OB/2，OC/2) 即 （2，1），半径=BC/2=√5
圆方程为（x-2）²+（y-1）²=5
过原点O做垂线垂直BC,交园于另一点D1,连接D1C、D1B，
∠D1CB=∠D1OB(同弧上的圆周角）=∠BCO(与∠B同余）=∠A (与∠B同余）
直线AC的斜率为OC/OA=2/1=2
则 直线OD1的方程为：y=2x
代入圆方程：
(x-2)²+（2x-1）²=5
解得：x=0，y=0 即原点，或 x=8/5，y=16/5 即 D1(8/5,16/5)
过原点做BC的平行线交园于另一点D2, 连接D2C、D2B、OD2
∠BCD2=∠OD2C(内错角）=∠OBC(同弧上的圆周角）=∠OCA (与∠A同余）
∴△BCD2∽△AOC
OD2的斜率=BC的斜率=-OC/OB=-2/4=-1/2
直线OD2的方程为： y=-x/2
代入圆方程：
（x-2)²+（-x/2-1)²=5
解得：
x=0，y=0， 或 x=12/5，y=-6/5 即 D2(12/5，-6/5)
过点B（4,0) 做OC的平行线，交圆另一点D3, 连接D3C
∠CBD3=∠BCO(内错角）=∠A (与∠B同余）
∴△BCD3≌△BCO, BD3=OC=2，△BCD3∽△AOC
D3横坐标为4，纵坐标=OC=2 即 D3(4，2)

综上 不算原点(0,0) 另共有3个点D1(8/5,16/5)、D2(12/5，-6/5)、D3(4，2)

Answer 2

根据题意，A点坐标是 （-1，0）
因为|OA|=1 |AC|=√5 ,所以，|OC|=2 则C点坐标是（0，2）
AC所在的直线是 y/2-x=1 ,即 y=2x+2
因为BC垂直于AC，所以，BC所在直线的方程是 y=-1/2x+2 ,它与X轴的交点是B（4，0）
那么　AB的中点　是（2，1），AB=2√5
因此 以AB为直径的圆方程是
(x-2)²+(y-1)²=5
显然，这个圆经过原点O
设D(x,y)是圆上一点，且满足三角形BCD相似于三角形AOC
由于，三角形BCD是直角三角形，（BC是直径，直径所对的圆周角是直角）
那么，只要满足<BCD=<ACO 或者<CDB=<ACO 即可
而 <ACO=<B(同弧上的弦切角等于圆周角）
所以，只要<BCD-<B 或<CBD=<B ,所以，在圆上的D点只要满足 CD=CO=2
或者 BD=OC=2 就是所求的D点
这样的点应该有四个，但其中一个与O点重合，因此共有三个点
若CD=OC
那么 以C点为圆心，OC为半径的圆 x²+(y-2)²=4 与圆 (x-2)²+(y-1)²=5交点就是D点
解这个方程组
x²+y²-4y=0 (1)
x²-4x+y²-2y=0 (2)
(1)-(2),得
4x-2y=0 y=2x 代入（1）得 x²+4x²-8x=0 5x²-8x=0
x=0 或 x=8/5
由于x=0是原点O，因此取 x=8/5 ,则 y=16/5
所以，第一个D点为 （8/5，16/5）
同理
以B点为圆心，OC的长为半径的圆方程是 （x-4)²+y²=4 它与圆 (x-2)²+(y-1)²=5有二个交点
解这个方程组就可以得到另外二个D点的坐标
以下省略了，对不起。

追问

别省略行不……我追加30分……

追答

(x-4)²+y²=4 x²-8x+y²+12=0 （1）
x²-4x+y²-2y=0 (2)
(2)-(1)得
4x-2y-12=0 y=2x-6 代入（1）得
x²-8x+4x²-24x+36+12=0
5x²-32x+48=0
(x-4)(5x-12)=0
x1=4 x2=12/5
那么 y1=2 y2=-6/5
所以第二个D点是 （4，2）、
第三个D点是 (12/5,-6/5_