Question

求积分，极限……如下图

Answer 1

1、令y=tx，t是参数，代入原方程可解得x=1/(t^3(1+t))，y=1/(t^2(1+t))，故dx=-(3t^2+4t^3)/(t^6(1+t)^2)dt，不定积分=-积分号(（1+t)(3t^2+4t^3)dt)=-(t^3+7/4t^4+4/5t^5)+C=-（(y/x)^3+7/4(y/x)^4+4/5(y/x)^5）+C
2、表达式改写为1/n求和（k=1到n）（1/(1+k^2/n^2)），此式是函数f(x)=1/(1+x^2)在【0,1】区间上的积分和，定义域均分为n份，节点都去自区间的右端点，因此极限为f在【0,1】上的积分pi/4。
3、做极坐标变换得F(t)=2pi积分(下限0上限t)rf(r^2)dr，由微积分基本定理得F'(t)=2pi*t*f(t^2)，
F''(0)=lim(F’(t)-F'(0))/(t-0)=lim2pi*f(t^2)=2pif(0)=2pi。
4、分部积分得原积分=积分号xdf'(x)=xf'(x)-积分号f'(x)dx=xf‘(x)-f(x)+C。
5、交换积分顺序，原积分区域是0《x《a，0《y《x，也可以写为0《y《a，y《x《a，因此有原积分=积分(下限0上限a)dy积分（下限y上限a）f(y)dx=积分(下限0上限a)（a-y)f(y)dy，变量y再用x表示就行。