Question

高二数学。【椭圆】问题。

如图，矩形ABCD中，|AB|=8，|BC|=6。E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，R、S、T是线段OF的四等分点，R'、S'、T'是线段C F的四等分点。请证明直线ER与GR'，ES与GS'，ET与GT'的焦点L，M，N都在椭圆x^2/16+y^2/9=1上。

Answer 1

解：直线族ER,ES,ET,EF的方程可以表示如下 

(y+3)/x=3/n, ……………(1) ,n=1,2,3,4 

直线族GR’,GS’,GT’,GF的方程可以表示如下 

(y-3)/x=[(3/4)(4-n)-3]/4…….(2) 

解方程组（1）（2）得： 

x=32n/(n^2+16) 

y=3(-n^2+16)/ (n^2+16) 

x^2/16+y^2/9=[64n^2+(-n^2+16)^2]/ (n^2+16)^2 

=1 

所以交点都在椭圆上

Answer 2

因为题目不对当让就做不出来了
题目有误，应该为椭圆方程应为x^2/16+y^2/2.25=1
证明：
如下图
在O点建立直角坐标系
则直线GR'方程为：
y＝（-3/32）x+1.5 （1）
直线ER方程为：
y＝（3/2）x-1.5 （2）
联解（1）（2）得交点L坐标
x1＝32/17
y1＝45/34
此点满足椭圆方程x^2/16+y^2/2.25=1
故点L（32/17，45/34）在椭圆上
同理可计算M,N坐标，且同样满足椭圆方程x^2/16+y^2/2.25=1
故交点L、M、N都在椭圆x^2/16+y^2/2.25=1上