Question

【椭圆直线】椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是%...

【椭圆直线】椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是%C
如图,椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是向量OA+OB=OC.求椭圆的离心率

Answer 1

设椭圆是x²/a²＋y²/b²=1，直线是y=x－c，代入椭圆中，得：(a²＋b²)x²－2a²cx－a²(b²－c²)=0，OC=向量OA＋OB=(x1＋x2，y1＋y2)=(2a²c/(a²＋b²)，－2b²c/(a²＋b²))在椭圆上，代入椭圆中，求出c/a的值

Answer 2

设A(x1,y1), B(x2,y2)
x²/a²＋y²/b²=1
直线AB：y=x－c
联立方程，可得：
x1+x2=2a²c/(a²＋b²)
y1+y2=-2b²c/(a²＋b²)
向量OA+OB=OC 可得点C(x1+x2,y1+y2) 代入，且a²=b²+c²
化简e=c/a=√10/5

Answer 3

设A(x1,y1), B(x2,y2)
x²/a²＋y²/b²=1
直线AB：y=x－c
联立方程，可得：
x1+x2=2a²c/(a²＋b²)
y1+y2=-2b²c/(a²＋b²)
向量OA+OB=OC 可得点C(x1+x2,y1+y2) 代入，且a²=b²+c²