Question

归纳一下高中数学选修1-1椭圆部分的知识点 。

Answer 1

+ =1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1请不要开这样的玩笑每个学校的选修都不一样请附上课本名

Answer 2

定义、性质及与圆和双曲线的联系与区别

Answer 3

椭圆知识点
知识要点小结：知识点一：
椭圆的定义
平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数 ,这个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；
　　　　　若 ，则动点 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中
2．当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；
当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ，
知识点三：椭圆的简单几何性质
　　椭圆： 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程 ：说明：把 换成 、或把 换成 、或把 、 同时换成 、 、原方程都不变，所以椭圆 是以 轴、 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 ， 。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， ， ， 　　
③线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴， , 。 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：
　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 表示，记作 。
　　②因为 ，所以 的取值范围是 。 越接近1，则 就越接近 ，从而 越小，因此椭圆越扁；反之， 越接近于0， 就越接近0，从而 越接近于 ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 时， ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 。注意：　　椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1） ； ； ；
　　（2） ； ； ；
　　（3） ； ； ；
知识点四：椭圆 与 的区别和联系

标准方程

图形

性质 焦点 ，
，

焦距

范围 ，
，

对称性 关于 轴、 轴和原点对称

顶点 ，
，

轴长 长轴长= ，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径 ，
，

注意：椭圆 ， 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有 和 ， ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
规律方法：
1．如何确定椭圆的标准方程？
　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量 的几何意义
　　椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ， ，且 。
可借助右图理解记忆： 　 　
　　显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程 是表示椭圆的条件
方程 可化为 ，即 ，所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
　　①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
② 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
③ 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。
将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立 、 之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 ， ，用 表示为 。
显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形状越趋近于圆。

Answer 4

一、课标要求
1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
4．了解圆锥曲线的简单应用；
5．理解数形结合的思想
二、考点回顾1——椭圆：
1．利用待定系数法求标准方程：
（1）求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法（先定性、后定型、再定参）。
椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准”，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦点F1、F2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件；参数a、b 决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。对于方程x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0若m>n ，则椭圆的焦点在x轴上；若m<n ，则椭圆的焦点在y轴上。焦点位置不明确时，要注意分类讨论。
（2）当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x^2/m+y^2/n=1 ，m>0,n>0 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设Ax^2+By^2=1(A>0,B>0) ，这种形式在解题中更简便。
2．椭圆定义的应用：
平面内一动点与两个定点F1 、F2 的距离之和等于常数2a ，当2a >|F1F2 |时，动点的轨迹是椭圆；当 2a=|F1F2 |时，动点的轨迹是线段F1F2 ；当 2a<|F1F2 |时，轨迹为存在。
3．椭圆的几何性质：
（1）设椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1 上任意一点为P ，则OP^2=x^2+y^2 ，当x=-a,a时有最大值 ，这时P在长轴端点A1或A2处。
（2）椭圆上任意一点P 与两焦点F1F2 ， 构成三角形 称之为焦点三角形，周长为2a+2c 。
（3）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长，有a^2=b^2+c^2 。
4．直线与椭圆的相交问题
在解决有关椭圆的问题时，要先画出图形，解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用，将对几何图形的研究转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。数形结合的思想方法是解析几何中基本的思想方法。解析几何的本质是用代数研究几何，如求轨迹方程、范围问题等，几乎都与函数有关，实质即将几何条件（性质）表示为动点坐标(x,y) 的方程或函数关系。因此，自觉地运用函数方程的观点是解此类问题的关键。

Answer 5

椭圆知识点
知识要点小结：知识点一：
椭圆的定义
平面内一个动点 到两个定点 、 的距离之和等于常数 ,这个动点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若 ，则动点 的轨迹为线段 ；
　　　　　若 ，则动点 的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中
2．当焦点在 轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ， ；
当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为 ，
知识点三：椭圆的简单几何性质
　　椭圆： 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程 ：说明：把 换成 、或把 换成 、或把 、 同时换成 、 、原方程都不变，所以椭圆 是以 轴、 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线 和 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 ， 。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， ， ， 　　
③线段 ， 分别叫做椭圆的长轴和短轴， , 。 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：
　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 表示，记作 。
　　②因为 ，所以 的取值范围是 。 越接近1，则 就越接近 ，从而 越小，因此椭圆越扁；反之， 越接近于0， 就越接近0，从而 越接近于 ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 时， ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 。注意：　　椭圆 的图像中线段的几何特征（如下图）：（1） ； ； ；
　　（2） ； ； ；
　　（3） ； ； ；
知识点四：椭圆 与 的区别和联系

标准方程

图形

性质 焦点 ，
，

焦距

范围 ，
，

对称性 关于 轴、 轴和原点对称

顶点 ，
，

轴长 长轴长= ，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径 ，
，

注意：椭圆 ， 的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有 和 ， ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
规律方法：
1．如何确定椭圆的标准方程？
　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量 的几何意义
　　椭圆标准方程中， 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为： ， ，且 。
可借助右图理解记忆： 　 　
　　显然： 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 ， 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程 是表示椭圆的条件
方程 可化为 ，即 ，所以只有A、B、C同号，且A B时，方程表示椭圆。当 时，椭圆的焦点在 轴上；当 时，椭圆的焦点在 轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
　　①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆 共焦点的椭圆方程可设为 ，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于 轴、 轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
② 若把曲线方程中的 换成 ，方程不变，则曲线关于 轴对称；
③ 若把曲线方程中的 、 同时换成 、 ，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算解题。
将有关线段 ，有关角 ( )结合起来，建立 、 之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 ，因为 ， ，用 表示为 。
显然：当 越小时， 越大，椭圆形状越扁；当 越大， 越小，椭圆形状越趋近于圆。