Question

设函数f(x)=ax^3=bx^2+cx在x=1和x=-1处有极值且f(1)=-1求a,b,c的值并求出相应的极值

Answer 1

f(x)=ax^3+bx^2+cx
求导得
f'(x)=3ax^2+2bx+c
于是由取极值的必要条件得
f'(1)=3a+2b+c=0 (1)
f'(-1)=3a-2b+c=0 (2)
又f(1)=-1, 即
f(1)=a+b+c=-1 (3)
联立(1)(2)(3)得一方程组，并解得
a=1/2,b=0,c= -3/2.

此时 f(x)=(x^3)/2-(3x)/2,
f'(x)=3/2x^2-3/2=3/2(x-1)(x+1). 所以
当x<-1时,f'(x)>0；当-1<x<1时,f'(x)<0； 当x>1时, f'(x)>0.
所以f(-1)=1是极大值，
f(1)=-1是极小值.

Answer 2

求导即原式=3ax²+2bx+c当 x=1 等于3a+2b+c=0 当 x=-1 3a-2b+c=0
f(1)=-1即a+b+c=-1 a=1/2,b=0,c=-3/2
当x=1时f(x)=-1
x=-1时f(x)=1

Answer 3

f'(x)=3ax^2+2bx+c

f'(1)=0 ==> 3a+2b+c=0
f'(-1)=0 ==>3a-2b+c=0
f(1)=-1 a+b+c=-1

==>
b=0
a=1/2
c=-3/2