Question

高等数学的关于导函数间断点的问题。某函数F(x)zai (a,b)上可导，若F‘（x）存在间断点，必为第二类间断点

我想知道这个定理有没有漏洞？如果函数在区间可导，就是说在该区间每一点都可导，那如果导函数存在间断点，就说明函数在这一点不可导吧？？还是我理解错误，希望大家解决~

Answer 1

导函数存在间断点，是导函数在该点不可导（二阶不可导），不是函数不可导。

Answer 2

函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等
f（x）（n）阶可导，只能推出（n-1）阶导数连续，所以一个函数求出的导数是不知道其是否连续，甚至不能判断是否有极限！！！例如函数：f(x)=x².sin(1/x) （x≠0）；
f(x)=0 （x=0）；
此函数是处处可导的！，但lim(x→0） f'（x）=lim （2x.sin（1/x）-cos(1/x))是不存在的

Answer 3

若一个函数处处可导，则这个函数必须处处连续；但是它的导函数的连续性需要看具体函数的性质。有些函数的导函数也处处连续，但一般的函数不具有这种性质，比如上面那位举的例子：其导函数只在X=0点不连续。这是个很古老的例子了。。。但要注意每个函数若有导函数，则它的导函数一定有连续点，这需要借助集合论来证明（现代分析）。

Answer 4

这是指导函数存在间断点，不是说原函数存在间断点