Question

高数三重积分问题

例如三重积分为∫∫∫(x^2+y^2-+z^2)^2dv 是怎样等于∫∫∫（x^2+y^+z^2)dv 的 [积分区域 x^2+y^2+z^2≦1]，主要就是2xy+2yz+2xz 是怎么消掉的，在什么情况下可以消去，具体原则或是方法是什么? 谢谢不甚感激~~
是不是如果"积分区域"关于y轴对称就可以消去xz，关于x轴对称就可以消去"被积函数"中的yz，关于z轴对称就可以消去xy

Answer 1

不是说关于哪个轴对称，而是应该说是关于哪个平面对称！！要注意想……x^2+y^2+z^2<=1，这是个球区域，它是关于xy平面，xz平面、yz平面对称的！！！关于xy平面对称就可以把关于z为奇函数在关于xy平面对称的区域内三重积分为0，同样关于yz平面对称的区域就可以把关于x为奇函数的三重积分化为0，关于zx平面对称的区域就可以把关于y为奇函数的三重积分化为0！！

Answer 2

可以这样：第一重对x进行积分，将y和z看成常数，积分范围是-根号[1-y^2-z^2]和根号[1-y^2-z^2]间，去掉含x的项，第二步对y积分，把z看成常数，积分范围是-根号[1-z^2）]和根号[1-z^2）]间
去掉含y的项，第三步对z积分，积分范围是（-1，1）即可得所求值
比如第一重对x进行积分，其中的2xy+2yz+2xz 对x积分结果为y*x^2+z*x^2+2yz*x
积分时把y、z看成常数项a、b就好，不要去管他

Answer 3

可以使用球坐标系或者柱面坐标系求解，2xy+2yz+2xz 通过对称性消掉的，2xy+2yz+2xz ，积分后是零具体可以看书