Question

已知函数f(x)=log3x 若f(ax)乘f(ax方)的解都在(0,1)内,求实数a的范围

log3x是以三为底 X的对数 f(ax)乘f(ax^2)=1

Answer 1

解答：
log3(ax)*log3(ax^2)=1.....................①
→[log3(a) + log3(x) ][ log3(a) + 2log3(x)]=1
设t=log3(x), A=log3(a) (此时t<0)，则
(t+A)(2t+A)=1，即
2t^2+3At+A^2-1=0..........................②
条件①中x∈(0,1)等价于②中t∈(-∞,0)。
也就是说:当且仅当方程②的解都是负数时，方程①的解都在(0,1).
由一元二次方程的知识得：
(3A)^2-8(A^2-1)＞0
-3A/2＜0
(2A^2-1)/2＞0.
解这个不等式组，得：A＜-√2/2。
即：log3(a)＜-√2/2，
解得：0＜a＜(1/3)^(√2/2)。
所以实数a的范围是(0,(1/3)^(√2/2)).

Answer 2

等价与：
log3(ax)*logc(ax^2)=1 的解在(0,1)内，
即
(log3(a) + log3(x) )*( log3(a) + 2log3(x))=1 的解在(0,1)内，
不妨设t=log3(x), A=log3(a) (此时t<0)
则
(t+A)(2t+A)=1
2t^2+3At+A^2-1=0 的解再(负无穷大,0)
设g(t)=2t^2+3At+A^2-1
则
1 对称轴<0
2 g(0)>0

得 A>1
即 log3(a)>1
即a>3
匆忙做得。。
不知道对不对。。思路应该没有错吧？