Question

高等代数---矩阵问题求解（00-八）

设4级矩阵A=3 4 0 0
4 -3 0 0
0 0 2 4
0 0 0 2
求A^2k及 |A|^2k 其中k是自然数.

Answer 1

A^{2k}就是2k个A相乘。我们先做A*A
A*A=3 4 0 0 * 3 4 0 0 = 3^2+4^2 3*4-4*3 0 0 = 25 0 0 0 令这个=B
4 -3 0 0 4 -3 0 0 4*3-3*4 4^2+3^2 0 0 0 25 0 0
0 0 2 4 0 0 2 4 0 0 2^2 2*4+4*2 0 0 4 16
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2^2 0 0 0 4

A^{2k}=(A^2)^k=B^k，下面求B^k。因为B的前两行只有对角线非零，所以得到25^k，后两行后两列组成的子矩阵，可先用符号计算：
设C=a b
0 a
则C^2= a^2 2ab
0 a^2
C^3=a^3 3a^2b
0 a^3
......
C^k=a^k ka^{k-1}b
0 a^k

所以最终结果B^k是
25^k 0 0 0
0 25^k 0 0
0 0 4^k k*4^{k-1}*16
0 0 0 4^k
------------------------------------------------
第二个问题|A|^{2k}实际上是求A的行列式的2k次方。
现求|A|
将A的第四行乘以-2加至第三行，去掉a34的值。
再将A的第二行乘以4/3加至第一行，去掉a12的值，此时行列式变成下三角式，其值是对角线的乘积。故
|A|=(3+4*4/3)*(-3)*2*2=-100
所以|A|^{2k}=(-100)^{2k}，肯定是正的，最终结果为10^{4k}

追问

我问下，求C的规律（矩阵第三行第四列）这个数的规律，你用前三个式子看出规律，可没有证明，看出来没有说服性啊，我可以说第4项或第N项不成立，你怎么反驳我啊！

追答

囧死了，这不是看出来的规律好不好，是乘法原则啊……我怕你不明白还特意写了三个式子。
a b * a b = a^2 ab+ab
0 a 0 a 0 a^2
没问题吧？
第一行第一项永远是a的某个次方，第二行第一项永远是0，没有问题吧？
第二行第二项也永远是a的某个次方没问题吧？
第二行第一项=前面式子的第一行第一项 * 后面式子的第一行第二项 + 前面式子的第一行第二项 * 后面式子的第二行第二项，没问题吧？

所以第一次相乘是ab+ab=2ab

第二次相乘是a^2b+2a^2b=3a^2b

第三次相乘是a^3b+3a^3b=4a^3b

。。。。。。。

第k-1次相乘是a^(k-1)b+(k-1)a^(k-1)b=ka^(k-1)b

乘完的结果就是这样的，还要怎么说明？还要怎么反驳啊？

追问

牛人勿急，我觉得那个第二行第2个（最难求的那项）这个好像是运用第二归纳法吧，假设n-1项成立，看n项成立否，我算来着n项也成立，所以假设成立!

Answer 2

这题太难，俺不会啊