Question

如何用分部积分法求∫sin3xcosxdx？

Answer 1

∫sin3x*cosx dx
= ∫sin3x d(sinx)，第一次分部积分法
= sinx*sin3x - ∫sinx d(sin3x)，第一次分部积分法
= sinx*sin3x - 3∫sinx*cos3x dx
= sinx*sin3x + 3∫cos3x d(cosx)，第二次分部积分法
= sinx*sin3x + 3cosx*cos3x - 3∫cosx d(cos3x)，第二次分部积分法
= sinx*sin3x + 3cos*cos3x + 9∫cosx*sin3x dx
(1-9)∫cosx*sin3x dx = sinx*sin3x + 3cosx*cos3x
∫cosx*sin3x dx = (-1/8)(sinx*sin3x + 3cosx*cos3x) + C

Answer 2

这题不用分部积分吧？
将被积表达式化简一下就行了
sin3xcosx=1/2(sin4x+sin2x)
然后分项积分就行了
结果是-1/8cos4x-1/4cos2x+C