Question

高一数学奇偶性

定义在R上的函数f(x)非常数函数，且对任意x属于R，均有f(x+8）=f(8-x),f(4+x)=f(4-x)，求函数奇偶性

Answer 1

f(4+x)=f(4-x)
用x-4代换x
f(x)=f(8-x)=f(x+8)
用-x代换上式中x
f(-x)=f(8+x)
所以有f(x)=f(-x)
所以是偶函数

Answer 2

偶函数
f(-x)
=f[4-(x+4)]
=f[4+(x+4)]
=f(8+x)
=f(8-x)
=f[4+(4-x)]
=f[4-(4-x)]
=f(x)

Answer 3

解：设 4+x=y；4-x=z
得 f(8+x)=f(4+y)=f(4-y)=f(-x)
f(8-x)=f(4+z)=f(4-z)=f(x)
由 f(8+x)=f(8-x) 推出 f(-x)=f(x)
所以是偶函数

Answer 4

f(-x)=-f(x) 奇函数
f(-x)=f(x) 偶函数
f(x+8),把-x代入，f(-x-8)≠f(x))≠-f(x)，所以是非奇非偶函数；
f(4+x),把-x代入，f(4-x)=f(x),是偶函数。