Question

关于函数连续性和可导性的问题 设f(x)=lim n→∞ ((x^2)e^n(x-1)+ax+b)/(5+e^n(x+1))

由题设可得f(x)=x^2,x>1 (1+a+b)/6,x=1 (ax+b)/5,x<1 这是一个分段函数，此题答案我已知，我不明白的是为什么从题目可得这个分段函数，本人基础不好，请高手指教，最好能详细些，谢谢

Answer 1

你根据exp（x）的泰勒展开式就ok了

追问

额。。如何利用e^x的泰勒展开式分成这个分段函数呢？还希望你能详解。。谢谢

追答

首先说明你的题写错了点，都是x-1；
解释如下：e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!;
当x=1时极限为 (1+a+b)/6；
当x>1时x-1>0所以此时直接看e^n（x-1）的系数比就是x^2;(这里可把x看做常数，关于n的极限)；
当x<1时x-1<0，当n趋于无穷大时e^n(x-1)趋于0，所以结果就为 (ax+b)/5；
有什么不懂的地方尽管问，我是数学专业的。应该可以帮助你的。

追问

额。。看你的解释，貌似是lim x→1得出第二个结论，lim x→1-得出第三个结论，第二个结论是不是根据lim n→∞时，看分子分母未知数的指数大小，当二者相等时，得出极限为分子与分母未知数的系数比？

追答

是的

Answer 2

高中的知识吧？