Question

cosx^6的不定积分

Answer 1

cos^x^6

= (cosx²)³

= [(1+cos2x)/2]³ = (1/8)(1+cos2x)³

= (1/8)(1+3cos2x+3cos²2x+cos³2x)

= (1/8)+(3/8)cos2x+(3/8)(1/2)(1+cos4x)+(1/8)(1/2)(1+cos4x)(cos2x)

= (1/8)+(3/8)cos2x+(3/16)+(3/16)cos4x+(1/16)(cos2x+cos4xcos2x)

= (5/16)+(3/8)cos2x+(3/16)cos4x+(1/16)cos2x+(1/32)cos6x+(1/32)cos2x

= (5/16)+(15/32)cos2x+(3/16)cos4x+(1/32)cos6x

∫cos^6x dx = ∫[(5/16)+(15/32)cos2x+(3/16)cos4x+(1/32)cos6x] dx

= (5/16)∫ dx + (15/32)∫cos2x dx + (3/16)∫cos4x dx + (1/32)∫cos6x dx

= (5/16)∫ dx + (15/32)(1/2)∫cos2x d(2x) + (3/16)(1/4)∫cos4x d(4x) + (1/32)(1/6)∫cos6x d(6x)

= (5/16)x + (15/64)sin2x + (3/64)sin4x + (1/192)sin6x + C

扩展资料：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

反余弦函数（反三角函数之一）为余弦函数y=cosx（x∈[-½π,½π]）的反函数，记作y=arccosx或cosy=x(x∈[-1，1]).。由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知余弦函数的图像和反余弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称，知余弦函数的图像和反余弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

主要是在化简指数问题上，尽量把次方形式变为复角形式，例如cos(nx)和sin(nx)等，比较好积
cos^6x
= (cos²)³
= [(1+cos2x)/2]³ = (1/8)(1+cos2x)³
= (1/8)(1+3cos2x+3cos²2x+cos³2x)
= (1/8)+(3/8)cos2x+(3/8)(1/2)(1+cos4x)+(1/8)(1/2)(1+cos4x)(cos2x)
= (1/8)+(3/8)cos2x+(3/16)+(3/16)cos4x+(1/16)(cos2x+cos4xcos2x)
= (5/16)+(3/8)cos2x+(3/16)cos4x+(1/16)cos2x+(1/32)cos6x+(1/32)cos2x
= (5/16)+(15/32)cos2x+(3/16)cos4x+(1/32)cos6x

∫cos^6x dx = ∫[(5/16)+(15/32)cos2x+(3/16)cos4x+(1/32)cos6x] dx
= (5/16)∫ dx + (15/32)∫cos2x dx + (3/16)∫cos4x dx + (1/32)∫cos6x dx
= (5/16)∫ dx + (15/32)(1/2)∫cos2x d(2x) + (3/16)(1/4)∫cos4x d(4x) + (1/32)(1/6)∫cos6x d(6x)
= (5/16)x + (15/64)sin2x + (3/64)sin4x + (1/192)sin6x + C

Answer 3

满意答案中，sin2x的系数应该为1/4，而不是15/64