Question

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)B(3,0)C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB。

1.求该抛物线的解析式
2.抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。
3.在第一象限，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标。
图片在我的百度空间里，A的那一张
需要完整过程，谢谢。

Answer 1

1.解：
将A，B，C三点，分别代入抛岩咐粗物线方程，得：
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=c
所以得出：a=-1,b=2,c=3
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3

2.解：存在，Q有3个坐标
设Q到直线MB的距离为m，P到直线MB的距离为n
∵S△QMB=(1/2)×|MB|×m，S△PMB=(1/2)×|MB|×n
∴欲使S△QMB=S△PMB，只要求使得m=n的Q点即可
直线BC的方程为：x/3+y/3=1，即y=-x+3
∵P点为对称轴与抛物线的交点，∴P坐标为(1,4)
M点为对称轴与BC的交点，∴M坐标为(1,3)
∵直线PC的斜率k1=(4-3)/(1-0)=1，直线MB的斜率为-1，则PC⊥MB，则|PC|=n
作P关于C的对称点P'，则P'的坐标为(2×0-1,2×3-4)，即(-1,2)，且P'C⊥MB，且|P'C|=|PC|=n
作直线L：平行于BC且通过P，即斜率为-1，且通过P的直线：y=-x+5
作直线L'：平行于BC且通过P'，即斜率为-1，且通过P'的直粗镇线：y=-x+1
∵L//BC，∴L上任意一点到直线MB的距离相等，且等于|PC|，即n
又∵L'//BC，∴L'上任意一点到直线MB的距离相等，简御且等于|P'C|，即n
∴L和L'上任意一点与M、B所形成三角形面积均与△PMB面积相等
联立L与抛物线方程，得(1,4),(2,3)
联立L'与抛物线方程，得((3+√17)/2,(-1-√17)/2),((3-√17)/2,(-1+√17)/2)
所以Q点有3个坐标，分别为(2,3)，((3+√17)/2,(-1-√17)/2)，((3-√17)/2,(-1+√17)/2)

3.解：存在
R坐标为(1+√2，2)

Answer 2

(1)将三个点代入方程式得
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
得出 a=-1,b=2,c=3抛物线解旅胡析式为 y=-x2+2x+3
(2)根据（1），我们含岁知道对称轴方程为 x=1,BC直线方程为 y=-x+3
P点坐标为（1,4），所以S△PMB=4x2x1/2-2x2x1/2=2
假设存在点Q（xo,yo）使得两面积相等，则有s△QMB=1/2xMBxh=2,MB=2√2
h=|xo+yo-3|/√2=√2
即|xo+yo-3|=2，所以xo+yo=5或1
通过方程式xo+yo=5 ；yo=-xo2+2xo+3求xo，拆老拦yo 的值
（xo，yo）为（2,3）