Question

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)B(3,0)C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB。

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)B(3,0)C(0,3)三点,对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB。
1.求该抛物线的解析式
2.抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。
3.在第一象限，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标。
图在空间

Answer 1

1
A(-1,0)B(3,0)C(0,3)
x1=-1,x2=3 x=0,y=c=3
x1x2=c/a=-3
a=-1
x1+x2=2=-b/a
b=2
y= -x^2+2x+3
对称轴x=-b/2a=(x1+x2)/2=1 c-b^2/4a=3-4/(-4)=4 顶点P(1,4)
直线BC：y-3=[(3-0)/(0-3)]x
y=-x+3
x=1,y=2
M(1,2) P(1,4)
2
过P平行BC直线
y-4=-(x-1)
y=5-x
y=-x^2+2x+3
5-x=-x^2+2x+3
x^2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0
x=1,y=4或x=2,y=3
Q(1,4)或Q(2,3)

3
|PM|=4-2=2
|BM|^2=(3-1)^2+2^2=8
|BM|=√8
R(x0,y0)
过R垂直BC直线y-y0=x-x0
y=-x+3
-x+3-y0=x-x0
x=(x0+3-y0)/2
y-y0=3-y-x0
y=(3+y0-x0)/2
R到BM距离d^2=[(x0+3-y0)/2-x0]^2+[(3+y0-x0)/2-y0]^2
=2[(3-x0-y0)/2]^2
d=√2|3-x0-y0|/2
d*√8=2*(x0-1)
4|3-x0-y0|/2=2(x0-1)
|3-x0-y0|=x0-1
a
|3-x0-y0|=3-x0-y0时
3-x0-y0=x0-1
y0=-x0^2+2x0+3
-x0^2+4x0-1=0
(x0-2)^2=3
x0=2-√3
y0=7-2√3-7+4√3=2√3，3-x0-y0<0 (舍去）
b
|3-x0-y0|=x0+y0-3
x0+y0-3=x0-1
y0=2
2=-x^2+2x+3
-x^2+2x+1=0
(x-1)^2=2
x=√2+1
R(√2+1, 2)

Answer 2

楼上正解！