Question

设f(x)=x²-x+1,实数a满足丨x-a丨<1,求证丨f(x)-f(a)丨<2(丨a丨+1)

Answer 1

f(x)-f(a)=(x^2-x+1)-(a^2-a+1)
=(x-a)(x+a)-(x-a)
=(x-a)(x+a-1)
|f(x)-f(a)|<=|x-a|*|x+a-1|
<|x+a-1| (|x-a|<1,去掉一个小于1的因子，所有项都是正的，值会增大)
因为|x-a|<1
-1<x-a<1
a-1<x<a+1
2a-1<x+a-1<2a+1
所以|x+a-1|<max(|2a+1|,|2a-1|)
而|2a+1|<=|2a|+|1|=2|a|+1
|2a-1|<=|2a|+|-1|=2|a|+1
综上，有
丨f(x)-f(a)丨<2丨a丨+1<2(|a|+1)

Answer 2

丨f(x)-f(a)丨=|x²-x+1-(a²-a+1)|= |(x-a)(x+a-1)|
< |x+a-1|= |(x-a)+2a-1)|≤|x-a|+2|a|+1
<2(丨a丨+1)。