Question

关于二次函数图的对称轴

我没听懂，讲讲

轴对称
　　1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a 　　 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 　　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0） 　　a,b同号，对称轴在y轴左侧　 　　b=0,对称轴是y轴 　　a,b异号，对称轴在y轴右侧

不懂

Answer 1

二次函数的解析式是：y=f(x)=ax²+bx+c
其图像是一个开口向上或向下的抛物线
就如你向远处扔一个石头的时候，开始石头向前斜上方运动，达到最高点后，再向前斜下方运动，这就是一个开口向下的抛物线，整个运行过程的一个光滑的曲线。
函数式可变化为：
y=a(x²+b/a x +c/a)
=a(x²+b/a x +(b/2a)²-(b/2a)²+c/a)
=a(x+b/2a)²-b²/4a+c
当a>0时，a(x+b/2a)²>=0 所以当x=-b/2a 时，a(x+b/2a)²最小=0，y取得最小值 =-b²/4a+c
即这是一个开口向上的，顶点位置在P（-b/2a，-b²/4a+c）的抛物线
∵在x=-b/2a 左右 ±x0 位置的函数值相等，即：
x=-b/2a±x0，即 f(x)=a(-b/2a±x0+b/2a)²-b²/4a+c=ax0²-b²/4a+c
∴ f(x)关于 x=-b/2a 对称，称 直线 x=-b/2a 为对称轴。
当a<0时，a(x+b/2a)²<=0 所以当x=-b/2a 时，-a(x+b/2a)²最大=0，y取得最大值 =-b²/4a+c
即这是一个开口向下的，顶点位置在P（-b/2a，-b²/4a+c）的抛物线

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
即对称轴线x=-b/2a 与函数y=f(x) 联立方程的解，只有1个 P（-b/2a，-b²/4a+c）

特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）
对称轴x=h，当h=0，即x=0，作为直线方程，即是x=0，y任意，就是y轴。
此时，x=-b/2a=0，即b=0 ∴以y轴（x=0）为对称轴的抛物线的解析式为y=ax²+c

a,b同号，对称轴在y轴左侧　 　　
b=0,对称轴是y轴 　　
a,b异号，对称轴在y轴右侧
∵ 对称轴x=-b/2a
a. b 同符号 b/a >0 则 x= -b/2a <0 , 在y轴左侧
b=0 则 x= -b/2a =0 , 即是y轴
a. b 同异号 b/a <0 则 x= -b/2a >0 , 在y轴左侧
以上是根据系数值的特征判别图像的特征，反之也可以根据图像的特征判断系数的取值范围。
掌握这些性质，有利于我们结合图像和系数值的特征来解决问题，这就是所谓的“数图法”。

Answer 2

二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点

如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k

定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数

二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

Answer 3

二次函数的解析式是：y=f(x)=ax²+bx+c
其图像是一个开口向上或向下的抛物线
就如你向远处扔一个石头的时候，开始石头向前斜上方运动，达到最高点后，再向前斜下方运动，这就是一个开口向下的抛物线，整个运行过程的一个光滑的曲线。
函数式可变化为：
y=a(x²+b/a
x
+c/a)
=a(x²+b/a
x
+(b/2a)²-(b/2a)²+c/a)
=a(x+b/2a)²-b²/4a+c
当a>0时，a(x+b/2a)²>=0
所以当x=-b/2a
时，a(x+b/2a)²最小=0，y取得最小值
=-b²/4a+c
即这是一个开口向上的，顶点位置在P（-b/2a，-b²/4a+c）的抛物线
∵在x=-b/2a
左右
±x0
位置的函数值相等，即：
x=-b/2a±x0，即
f(x)=a(-b/2a±x0+b/2a)²-b²/4a+c=ax0²-b²/4a+c
∴
f(x)关于
x=-b/2a
对称，称
直线
x=-b/2a
为对称轴。
当a<0时，a(x+b/2a)²<=0
所以当x=-b/2a
时，-a(x+b/2a)²最大=0，y取得最大值
=-b²/4a+c
即这是一个开口向下的，顶点位置在P（-b/2a，-b²/4a+c）的抛物线
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
即对称轴线x=-b/2a
与函数y=f(x)
联立方程的解，只有1个
P（-b/2a，-b²/4a+c）
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）
对称轴x=h，当h=0，即x=0，作为直线方程，即是x=0，y任意，就是y轴。
此时，x=-b/2a=0，即b=0
∴以y轴（x=0）为对称轴的抛物线的解析式为y=ax²+c
a,b同号，对称轴在y轴左侧　
　　
b=0,对称轴是y轴
　　
a,b异号，对称轴在y轴右侧
∵
对称轴x=-b/2a
a.
b
同符号
b/a
>0
则
x=
-b/2a
<0
,
在y轴左侧
b=0
则
x=
-b/2a
=0
,
即是y轴
a.
b
同异号
b/a
<0
则
x=
-b/2a
>0
,
在y轴左侧
以上是根据系数值的特征判别图像的特征，反之也可以根据图像的特征判断系数的取值范围。
掌握这些性质，有利于我们结合图像和系数值的特征来解决问题，这就是所谓的“数图法”。

Answer 4

这个就是公式

Answer 5

二次函数图像的对称轴