Question

线性代数问题4

这个解答是根据什么公式的

Answer 1

知识点:β可由向量组α1,α2,..,αs线性表示
<=>线性方程组 x1α1+x2α2+...+xsαs = β 有解.
这个方程组是向量形式, 其矩阵形式为: (α1,α2,...,αs)x = β, 即 Ax=β.
<=> r(α1,α2,...,αs)=r(α1,α2,...,αs,β)

所以,
由β可由向量组α1,α2,..,αs线性表示得
r(α1,α2,...,αs)=r(α1,α2,...,αs,β)
由β不能由向量组α1,α2,..,αs-1线性表示得
r(α1,α2,...,αs-1)≠r(α1,α2,...,αs-1,β)
即有 r(α1,α2,...,αs-1)+1 = r(α1,α2,...,αs-1,β)
所以 r(α1,α2,...,αs)
= r(α1,α2,...,αs,β) --前结论
>= r(α1,α2,...,αs-1,β) --少一个向量
= r(α1,α2,...,αs-1)+1 --前结论
>= r(α1,α2,...,αs) --多一向量秩最多加1
----- 下面这部分题目没让证明, 可略去!
从而 r(α1,α2,...,αs-1,β)
= r(α1,α2,...,αs) --被夹在中间故相等
= r(α1,α2,...,αs,β) --前结论
= r(α1,α2,...,αs-1,β,αs) --自然
即 r(α1,α2,...,αs-1,β) = r(α1,α2,...,αs-1,β,αs)
所以 αs 可由α1,α2,...,αs-1,β线性表示.
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同理 r(α1,α2,...,αs-1)+1 = r(α1,α2,...,αs) --被夹在中间故相等
所以 方程组 (α1,α2,...,αs-1)X=αs 无解.
所以 αs 不能由 α1,α2,...,αs-1 线性表示.

PS. 这样答你的题太受罪了!
你不用打字, 反而我要打出来!
这么简单的题, 让人解释这么麻烦的解答, 晕死!!!
我这样证:

因为β可由向量组α1,α2,..,αs线性表示
所以存在一组数 k1,k2,...,ks 使得
β = k1α1+k2α2+...+ks-1αs-1+ksαs
反证.
如果 αs 可由 α1,α2,...,αs-1 线性表示
设 αs=t1α1+t2α2+...+ts-1αs-1
则 β = k1α1+k2α2+...+ks-1αs-1+ksαs
= k1α1+k2α2+...+ks-1αs-1+ks(t1α1+t2α2+...+ts-1αs-1)
即β可由向量组α1,α2,..,αs-1线性表示
这与已知矛盾!
所以αs 不能由 α1,α2,...,αs-1 线性表示.

--下面证αs 可由α1,α2,...,αs-1,β线性表示, 可略
又因为β不能由向量组α1,α2,..,αs-1线性表示
所以 ks≠0
所以 αs=(1/ks)β-(k1/ks)α1-(k2/ks)α2-...-(ks-1/ks)αs-1
所以 αs 可由α1,α2,...,αs-1,β线性表示
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