Question

证明关于x的方程a^x=-x^2+2x+a，对a>0且a≠1，无论a取何值方程都有两个解

Answer 1

证明：
令f(x)=a^x, (a>0 且a ≠1) 指数函数
当0<a<1是在一二象限的单调减，f（1）=a
当a > 1 是在一二象限的单调增，f（1）=a

令 g(x)=-x^2+2x+a=-(x-1)^2+1+a 是抛物线。
开口向下，对称轴x=1，在（-∞，1] 单调增，在[1, +∞) 单调减
∵ f（x）>0, 且 g（1）=a+1 >f (1), 当 x>√（1+a）+1 时 f(x)<0
所以在（-∞，1) g(x)与f(x)有一个交点 在(1,+∞) g(x)与f(x)有一个交点

Answer 2

令f(x)=a^x,g(x)=-x^2+2x+a=-(x-1)^2+a+1.
g(x)在 x=1是 取得最大值=a+1
此时f(x)=a
此时有：g(x)>f(x)
根据单调性的关系容易判断出有两个交点 （这类题可多画图 ，容易找到思路）