Question

求证：若A、B均为n阶矩阵，AB=E 则A、B互为逆矩阵

因为AB=E
所以|A|*|B|=1 则，|A|=1/|B|=|B'|
则A=B' （注：B'表示方阵B的逆矩阵）
这样推出的结果：A=B' 对吗？
若正确，请给出详细理由。否则给出正确解答。

Answer 1

这样证明是有问题的。因为|A| = |B'|并不能保证 A = B'
最简单的例子 A=[ 1 0; 0 1]; B' = [2 0; 0 1/2]；显然|A| = |B'| = 1,但是A ≠ B'
这题可以这样证明：
首先证明A、B均可逆。
AB = E， 两边同时取行列式， |AB| = |E| = 1 = |A|*|B|，所以A、B的行列式均不为0，均可逆
假设B的逆矩阵为B',AB=E两边同时乘以B'
ABB' = EB' = B'.
因为BB' = E，所以ABB' = AE = A = B'.
所以A是B的逆矩阵
B是A的逆矩阵以此类推，你可以自己写一下。

希望可以帮到你！

追问

若A=[1 0;0 1]，请问能否写出A'=[?]

追答

我举得例子只是用来说明矩阵A、B的行列式相同，不能说明A = B
你追问的问题是求取A的逆矩阵？这个也有公式的啊
A' = A*/|A|，A*表示A的伴随矩阵。若A = [1 0; 0 1]， A' = [1 0; 0 1]。单位阵的逆矩阵是本身。