Question

已知函数f(x)=㏒2x-㏒x2(0＜x＜1)，数列{an}满足f(2^an)=2n(n∈n*)

(1)求数列{an}的通项公式(2)判断数列{an}的单调性

Answer 1

1）因为 f(x)=log2(x)-1/log2(x)，
所以 由 f(2^an)=2n 得 an-1/an=2n，
即 an^2-2n*an-1=0。
解得 an=n±√(n^2+1)
因为 0<x<1，则 0<2^an<1，
所以 an<0，
因此，an=n-√(n^2+1)。

2) 由于 an=n-√(n^2+1)=-1/[n+√(n^2+1)]，
所以 ｛an｝是单调递增数列。

Answer 2

(1)f(2^an)=log2(2^an)-1/log2(2^an)=an-1/an=2n an^2-2nan-1=0
数列{an}的通项公式为：an=n-√(n^2-1)或an=n-√(n^2+1)(不符合0＜x＜1，舍去)
(2)an=n-√(n^2-1)=1/[n+√(n^2-1)]单调递增。

Answer 3

(1）。f（2^an)=log2（2^an）-log(2^an)2=an-1/an=2n（且0＜2^an＜1 即an＜0）解得an=n-sqrt（n^2+1）n∈n*
（2）可利用判断函数单调性的一般方法解决 即 任取相邻两项 第n项 与第n-1项 比较两项的大小 可以判断增减性。