Question

∫x^2√(a^2-x^2)dx怎么求

Answer 1

∫x²√(a²-x²)dx怎么求
解：令x/a=sinu，则x=asinu，dx=acosudu，代入原式得：
原式=a∫x√[1-(x/a)²]dx=a∫[asinu√(1-sin²u)]acosudu=a³∫sinucos²udu
=-a³∫cos²ud(cosu)=-(a³/3)cos³u+C=-(a³/3)[(1/a)√(a²-x²)]³+C=-(1/3)(a²-x²)^(3/2)+C

Answer 2

应用换元法，把a2-x2看做b2，--》x2=b2-a2,剩下的就简单基本求积分就可以了

Answer 3

令x=acost,dx=-asintdt,t=arccos(x/a)
∫x^2√(a^2-x^2)dx
=∫a^2cos^2t*asint*(-asint)dt
=-a^4∫cos^2tsin^2tdt
=-a^4/4∫sin^2(2t)dt
=-a^4/8∫[1-cos(4t)]dt
会做了吧？

追问

打错了···是x^2/√(a^2-x^2)dx,化成－∫a^2cos^2tdt，然后该怎么做啊？谢谢～

追答

晕菜啊
∫a^2cos^2tdt
＝a^2/2∫(1+cos2t)dt
会了吗？
cos^2t=(1+cos2t)/2