Question

数列中AN中，A1=3，AN+AN-1+2N-1=0（N∈N*，且N≥2），1、证明：数列AN+N是等比数列，并求AN的通项公式。

1、证明：数列AN+N是等比数列，并求AN的通项公式。 2、求数列AN的前N项和SN
要过程

Answer 1

（1）由题AN+AN-1+2N-1=0可变形得AN+N= -(AN-1+N-1),
故{AN+N}构成首项为A1+1=4，公比为 -1的等比数列，
所以AN+N=4(-1)^(n-1)
所以AN=4(-1)^(n-1)-N
（2）由AN=4(-1)^(n-1)-N及求和公式
可得SN=2-2(-1)^N-[N(N+1)]/2

追问

怎么算出这个SN=2-2(-1)^N-[N(N+1)]/2
能再详细的解一下吗？

追答

AN=4(-1)^(n-1)-N,前面的(-1)^(n-1)就是首项-1,公比-1的等比数列，直接公式，后面减的N就是等差数列求和咯，反正就是两个基本公式套用

Answer 2

AN+AN-1+2N-1=0
AN+N=-(AN-1+N-1)
所以AN+N为公比为-1的等比数列
A1=4,A1+1=4,AN+N的通项为4*(-1)^(N-1)
AN=4*(-1)^(N-1)-N

AN的前N项和SN=4*[1-(-1)^N)]/2-(1+N)*N/2

追问

怎么算出公比为-1

追答

AN+N=-(AN-1+N-1)
每后一项等于前一项乘以-1

Answer 3

(1)AN+AN-1+2N-1=0 AN+N=-[A(N-1)-(N-1)] A1+1=4
所以，数列{AN}是首项为4、公比为-1的等比数列。能项公式为AN=4*(-1)^(N-1)
(2)当N为奇数时，SN=4
当N为偶数时，SN=0