Question

高等代数---试题求解（00。三）

设V1与V2分别是齐次方程组x1+x2+.....+xn=0及x1=x2=.....=xn的解空间，求V1，V2并证P^n=V1+V2,其中P^n为数域p上的n维向量空间。

Answer 1

V1就是向量(1,1,...,1)的正交补空间，基为(1,-1,0,0,...,0)，（1，0，－1，0，。。。，0），。。。，（1，0，。。。，－1）,每个向量第一个分量为1，第k+1个分量为－1，其余分量为0，k＝1，2，。。。，n－1。V2的基为(1,1,1,...,1)。容易看出，V1和V2是正交的（基向量之间是正交的)，V1的维数是n－1，V2的维数是1，两者之和为n，因此两个子空间的和是直和，恰好是全空间。