Question

以知p为等边三角形内一点且pa=5，pb=3，pc=4，将线段bp绕b顺时针方向旋转60度至bp'的

已知p为等边三角形内一点，且PA=5,PB=3,pC=4,将Bp绕点b按顺时针方向旋转60度至bp'的位置（1）试说明角P'Pc=90度；（2）角bpc=150度，请说明理由。

Answer 1

解：分别连接PP',P'C。

    设∠ABP=∠1，∠CBP'=∠2，∠PBC=∠3，

    由题意易得：BP=BP'，

    因为旋转角为60°，也就是∠PBC=∠3=60°，

    所以△PBP'为等边三角形。

    由题意可知：

    BP=BP'=3，∠BPP'=∠PBP'=60°(等边三角形三角互等且为60°)，

    又因为∠1+∠3=∠2+∠3=60°，

    所以∠1=∠2。

    在△CBP'与△ABP中

    BP=BP'，∠1=∠2, AB=BC

       所以两三角形全等，所以AP=CP'=5。

    因为PP'=3，PC=4，所以∠P'PC=90°。

    又因为∠BPP'=∠3=60°，

    所以∠BPC=∠3+∠P'PC=150°。

Answer 2

证明:(1)连接P'C.
∵P'B=PB;∠PBP'=60°.
∴⊿PBP'为等边三角形,PP'=PB=3.
∵∠PBP'=∠ABC=60°.
∴∠P'BC=∠PBA;又BC=BA,BP'=BP.
∴⊿P'BC≌⊿PBA(SAS),P'C=PA=5.
∵PC²+PP'²=16+9=25=P'C².
∴∠P'PC=90°.
(2)∵⊿PBP'为等边三角形(已证)
∴∠BPP'=60°;
∴∠BPC=∠BPP'+∠P'PC=150°.

Answer 3

（1）分别连接PP',P'C。
∵AB=BC
∠ABP=CBP'=60°-∠PBC
BP=BP'
∴△PBA≌△P'BC（边角边）
∴CP'=AB=5
PP'=BP=3
∵PC=4
∴∠P'PC=90°(勾股定理）
（2）∴BP=BP'
∠PBP'=60°
∴△PBP'为顶角为60°的等腰三角形
∴∠P'PB=60°
∴∠BPC=∠P'PB+∠P'PC=60°+90°=150°