Question

如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,AP=AB=2，BC=2倍根号2，E,F分别为AD,PC的中点。

求证：PC⊥面BEF。 求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

Answer 1

∵PA⊥平面ABCD，AB是斜线PB的射影，

BC⊥AB，

∴根据三垂线定理，BC⊥PB，

∴△PBC是RT△，

∵F是RT△PBC斜边的中点，

∴BF=PC/2，

根据勾股定理。PC^2=PA^2+AC^2,

AC^2=AB^2+BC^2,

AC=2√3，

PC=4，

BF=2，

∵PA=PB=2，PA⊥PB，

∴△PAB是等腰RT△，

PB=√2AB=2√2，

PB=BC=2√2，

∴△PBC是等腰RT△，

BF⊥PC，

PE=√6，CE=√6，

PE=CE，

∴△PEC是等腰△，

∵F是PC中点，

∴EF⊥PC，（等腰△三线合一），

∵EF∩BF=F，

∴PC⊥平面BEF。

2、设底对角线AC∩BD=O，

连结FO和EO，延长EO交BC于M，连结FM，

∵FO是△PAC的中位线，

∴EF//PA，

∴EF⊥平面ABCD，

∵EM//AB，

PA∩AB=A，

EO∩EM=O，

∴平面PAB//平面EFM，

∴平面EFM和平面EFB所成二面角就是平面BEF与平面BAP夹角，

∵BM⊥EM，BM⊥FO，

∴BM⊥平面EFM，

△EFM是△EFB在平面EFM上的投影，

设二面角B-EF-M的平面角为θ，

S△EFM=S△BEF*cosθ,

EF=√（PE^2-PF^2)=√（6-4）=√2，

∵EF^2+BF^2=BE^2=6,

∴△BEF是RT△,

S△EFB=EF*BF/2=√2*2/2=√2，

S△EMF=EM*FO/2=2*1/2=1，

∴cosθ=1/√2=√2/2，

θ=45°，

∴平面BEF与平面BAP夹角为45度。

Answer 2

取PD中点G，由PA=AD得AG⊥PD，又CD⊥PD，所以AG⊥平面PCD，
因为EG∥AE且相等，
所以EF∥AG，
所以EF⊥平面PCD

Answer 3

解(1)因为E,F分别为PB,PC的中点,
所以EF是三角形PBC的中位线
所以EF平行于BC
又ABCD为矩形，
所以BC平行于AD
又AD在平面PAD内
EF在平面PAD外
所以EF//平面PAD
(2)作EG垂直于AB交AB于G,
因为PA垂直于AB，EG垂直于AB，又PA,EG都在平面PAB内,
所以EG//PA,
又PG垂直于平面ABCD
所以EG垂直于平面ABCD
又PA=AB,PA垂直于AB,E为PB中点,PB=2
所以AB=二分之根号2,EG=四分之根号2
所以V=(AB×BC)/2×EG×1/3
太难打那个根号和数字（我手机党，输入法难调…）最后算出来是1/12