Question

已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=a,A1A=AB=根号3a，E,F分别是BD1,AA1的中点。

(1)求异面直线BD与EF所成的角的大小；
(2)求异面直线AD与BD1间的距离。
烦请将过程陈述清楚一些。谢谢。

Answer 1

设底正方形对角线交点为O，取BB1中点G，连结EG，FG，则EG是△B1D1B的中位线，

EG//B1D1，

而B1D1//BD，

∴EG//BD，

∴〈FEG就是异面直线BD与EF所成角，

B1D1=√（3a^2+a^2)=2a,

EG=B1D1/2=a,

EF=AO=BD/2=a.,

FG= √3a,

在△EFG中，根据余弦定理，

cos<FGE=(EF^2+EG^2-FG^2)/(2*EF*EG)=(a^2+a^2-3a^2)/(2*a*a)=-1/2,

<FGE=120°，取其补角为60°

∴异面直线BD与EF所成的角为60度。

2、取AD中点M。连结EM，则EM是AD和BD1的公垂线，即二异面直线的距离，

∵EO⊥平面ABCD，EM⊥AD，

∴根据三垂线定理，EM⊥AD，

∵D1M=BM=√13a/2,

∴△BMD1是等腰△，

∵E是BD1中点，

∴根据等腰△三线合一性质，ME⊥BD1，

∴EM是两直线的公垂线，

EO=√3a/2,

MO=√3a/2,

根据勾股定理，

∴EM=√（EO^2+MO^2)=√6a/2

.异面直线AD与BD1间的距离为√6a/2。

Answer 2

1. 连接AC交BD于点O，EF//AO,异面直线BD与EF所成的角
就是BD与AO所成的角 AD=a,A1A=AB=根号3a AD=AO=OD ∠AOD=60°
异面直线BD与EF所成的角的大小为60°

2. 异面直线AD与BD1间的距离，就是AD到平面BCD1A1的距离
过点A做BA1的垂线AN，AN⊥AD，AN⊥BD1
异面直线AD与BD1间的距离为AN
A1A=AB=根号3a AN=√6/2a