Question

已知∠AOB=45°，P是边OA上一点，OP= 4根号2，以点P为圆心画圆，⊙P交OA于点C

已知∠AOB=45°，P是边OA上一点，OP= 4根号2，以点P为圆心画圆，⊙P交OA于点C，（点P在OC之间）,点Q是射线OB上的一个动点，连结PQ，交⊙P于点D当OQ=7时，PD/DQ=2/3
求（1）圆P半径长
（2）当点Q在射线OB上运动时，以点Q为圆心，OQ为半径的圆Q与圆P相切，试求OQ的长
（3）（2）连CD并延长交直线OB于点E，是否存在这样的点Q，使得△QCE∽△OPQ，若存在，试确定Q点的位置；若不存在，请说明理由

Answer 1

∠AOB=45°，OP= 4根号2，OQ=7
根据余弦定理：
PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP*OQcos45°
=(4根号2)^2+7^2-2*4根号2*7*根号2/2=25
PQ=5
PD/DQ=2/3
PD/(PD+DQ)=2/(2+3)
PD/PQ=2/5
半径PD=PQ*2/5=5*2/5=2

OP=4根号2，PD=2，QD=OQ=r，根据余弦定理：
PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP*OQcos45°

如果外切：PQ=PD+QD=2+OQ
(PD+QD)^2=(4根号2)^2+OQ^2-2*4根号2*OQ*根号2/2
(2+OQ)^2=32-8OQ
OQ^2+12OQ-28=0
(OQ+14)(OQ-2)=0
OQ+14＞14
∴OQ=2

如果内切：PQ=QD-PD=OQ-2

(QD-PD)^2=(4根号2)^2+OQ^2-2*4根号2*OQ*根号2/2
(OQ-2)^2=32-8OQ
(OQ+2)^2=32
(OQ+2+4根号2)(OQ+2-4根号2)=0
OQ+2+4根号2＞0
∴OQ+2-4根号2=0
∴OQ=4根号2-2