Question

由点对称轴是x=1的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,作直线BC,如图所示.点P

对称轴是x=1的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，作直线BC，如图所示．点P是线段OB上不与点O，B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点D，交抛物线于点E，连结CE，OD．已知OA：OB=1∶3，tan∠DBP=1．

求线段DE长度的最大值

Answer 1

OA：OB=1∶3, 设A(-a, 0), B(3a, 0), a > 0
对称轴是x = (-a+3a)/2 = a = 1
A(-1, 0), B(3, 0)
抛物线可以表示为：y = c(x+1)(x-3) = cx² - 2cx -3c
C(0, -3c)
tan∠DBP=1, BC的斜率k为-tan∠DBP = -1
k = (-3c-0)/(0-3) = c = -1
抛物线: y = -x² + 2x + 3
BC: x/3 + y/3 = 1, y = 3-x
设P(p, 0), D(p, 3-p), E(p, -p² + 2p+ 3)
|DE| = -p² + 2p+ 3 - (3-p) = -p² +3p = -(p-3/2)² + 9/4
DE长度的最大值: 9/4