Question

f（x）的二阶导数连续，x趋于0的极限（f（x）-a）/x^2=0,求f（x）在0处的导函数值

http://v.youku.com/v_show/id_XMzAzNTk0MjMy.html在视频20:50老师讲不能用罗比达法则，但我对比罗比达法则运用条件可以呀，是不是老师讲错了，本人考研，望高人指点迷津。
这个题确实不能用罗比达法则，罗比达法则是个局限性比较强的定理，不是条件强弱的问题，满足一定的条件是必须的，在这样一个很是很强的条件下，仍然不能用罗比达法则。举个例子：g（x）=x^2sin(1/x) f（x)=x (x趋于0）limg(X)/f(x)

Answer 1

这老师讲得好自信啊。他讲错了，本题可以用洛必达法则的，二阶导数都连续了，这么强的条件，还不能用洛必达法则，简直开玩笑。

追问

这个题确实不能用罗比达法则，罗比达法则是个局限性比较强的定理，我现在终于啊知道了，坑爹的罗比达法则啊。

追答

洛必达法则条件：1、分子分母在所求极限附近连续，可导，在所求极限点处极限存在；
由于f(x)可导，这个条件显然满足；
2、分子分母同趋于0，或无穷；
这个条件也满足，因为最终极限为0，分母极限为0，分子极限必然是为0的；
3、分子分母求完导后的极限存在或为无穷大；
分母求完导后极限为0，分子求完导后为f'(x)，由于f'(x)连续并且可导，显然f'(x)在0处的极限一定是存在的，不会出现不存在的情况。既然f'(x)极限存在，而2x极限为0，最终极限为0，因此f'(x)在x=0处极限存在且为0。又因为f'(x)连续，因此f'(0)=lim f'(x) (x趋于0），因此f'(0)=0。
本题用洛必达法则的条件是绰绰有余的。只要一阶导数连续就足够了。何况二阶导数，其实本题在一开始就不该给这么强的条件，那样就应该用那位老师讲的方法了。

我也是讲考研辅导班的，我讲的这类题从来没给过这么强的条件，二阶导连续，太夸张了。本题的正确条件应该是f(x)连续，且在x=0处可导，这个条件就够做这道题了，这样的话，才是用那个老师的方法。

追问

看来你讲错了啊，罗比达法则很多老师都会勿用，其实罗比达法则是一个从右往左推的定理，你仔细看看书，书上是不是说只有当一阶导数比值的极限存在时才能用罗比达法则呀，这就是第三个条件的深入理解，拿这个题来说，你求完一阶导的比值取极限时，有哪个条件或者定理定义说明一阶导的比值取极限等于0呀，等于0是你下意识的结果，因为在用罗比达法则时我们总是===到右，导致会有这样的下意识,看我补充问题的例子，你就不会讲错了

追答

只要最后极限存在就说明没错啊，如果极限算不出来，那有可能是洛必达法则用错了。但事实上最后极限是存在的，所以用这个是没有问题的。

假如我们没学过第一个重要极限，lim sinx/x x趋于0，这个可以用洛必达法则吗？当然可以，但在用洛必达法则之前我们也不知道用完后是否能算出来，但用完后既然能算出来，就说明用的没错。如果你非要已知右边极限存在才能用洛必达法则，那你永远也没法用它了，因为右边的极限在做题前一般是不知道的。

你举的那个例子根本不在我们今天讨论的范围之内，我们讨论的是二阶导数连续的函数，你举的那个例子g(x)在x=0处一阶导数存在，但不连续，二阶导根本不存在。

如果二阶导数连续都不能用洛必达法则，那永远也不要用了。

Answer 2

本题不能用罗毕达法则，因为 f(x)-a 是尚未确知=0的，所以不适用0/0 型；
解：∵f(x)的二阶导数连续
∴f(x) 在x=0 处的泰勒展开式为：
f(x) = f(0)+f'(0)x+f''(ξ)/2 * x² ξ 0和x间的一点；
(x→0)lim [f(x)-a]/x²
=(x→0)lim [f(0)+f'(0)x+f''(ξ)/2 * x²-a]/x²
=(x→0)lim {[f(0)-a]/x² + f'(0)x/x² +f''(ξ)/2 * x²/x² }
=(x→0)lim [f(0)-a]/x² + (x→0)lim f'(0)/x + f''(ξ)/2
∵ (x→0)lim [f(x)-a]/x² =0
∴ (x→0)lim [f(0)-a]/x² =0 ==> f(0)-a=0 ==> f(0) = a
(x→0)lim f'(0)/x =0 ==> f'(0)=0
∴ f(x) 在x=0处的导数值为 0；

追问

当然可以呀，分母x^2趋于0，而极限存在，则分子一定趋于0呀，即有limf（x）-a=0，因为f（x）二阶连续，故f（x）一阶连续可导，进而f（x）连续可导呀，即有limf（x）=f（0）=a，limf'（x）=f'(0)=0 呀，怎么不对呀，完全符合罗比达法则的条件啊。

追答

0/0 型要求确知，f(x)-a 只有在证明了极限趋近于零后，才可以应用罗毕达法则；而这正是本题所要证明的，当你证明了f(x)-a 为高阶无穷小的时候，本题已经结束了。

追问

当然问题的错误之处并不是你的理由，f（x)-a的极限为0是必然的，这个真的真的不用证明，错误之处你看上边就知道了，看来解铃还须系铃人啊！

Answer 3

lim(x->0) ( f(x) - a) / x² = 0
=> x->0时， f(x) - a = o(x²) => f(0) = a
再由 lim(x->0) ( f(x) - a) / x = 0 => f '(0) = 0