Question

物体运动的牛顿第二定律方程mg-kv=ma.其中k为常数，速度从零开始增加直至匀速，如何求v与t的关系？

即受与速度成正比的阻力的雨滴下落问题

Answer 1

加速度 a＝dV / dt ，所以方程mg－kv=ma　可写为　
mg－kV=m *dV /dt
得　dt＝m*dV /（mg－kV）＝－（m / k）*d(mg－kV) /（mg－kV）
两边积分，得　ln（mg－kV）＝－（k / m）t ＋C　　（C是积分常量）
由初始条件：t＝0时，V＝0　得　C＝ln（mg）
所以　ln（mg－kV）＝－（k / m）t ＋ln（mg）
所求的v与t的关系是　V＝（mg / k）*{ 1－e^[-(k t / m)] }

Answer 2

刚开始是V随t的增大而增大（不是正比例关系）
然后随着V增大阻力增大 当阻力等于重力时 雨滴就是匀速运动了

Answer 3

这道题目是微分方程的问题，如果是高中的话可以不用定量求解，定性理解就好，最后一定会达到受力平衡。
可以这样定量求解：由于a=dv/dt，也就是v对时间t的导数，那么方程可以化成
mg-kv=m*dv/dt.由指数函数导数的性质，根据方程形式，可以设v=a*e^(-bt)+mg/k，其中a,b是常数。
于是，方程可以化成，mg-k*a*e^(-bt)-k*(mg/k)=m*(-ab)*e^(-bt).
这样，根据方程左右两边的平衡，ka=abm，又因为初速度是0，所以v(0)=a+mg/k=0。
这样通过上面两个方程，参数就可以解出来，a=-mg/k，而b=k/m。
这样，v=-(mg/k)*e^(-kt/m)+mg/k。
不知道你是否明白，欢迎追问~