Question

一道高中数学数列问题

已知点（1，1/3）是函数f（x）=a^x(a>0且≠1) 的图像上一点，等比数列｛an｝的前n项和为f（n）-c，数列｛bn｝（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足S n-S n-1=根号下Sn+根号下S n+1 (n≥2）1.求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式2.若数列｛1/bn·b n+1｝前n项和为Tn，问Tn＞1000/2009的最小整数n是多少？

Answer 1

“前n项和Sn满足S n-S n-1=根号下Sn+根号下S n+1 “中的 S n+1是不是S(n-1)?否则不可能有解？因为只是已知b1，根据上式无法求得b2 。
如果是，可以按下述：

解：1、f(x)=a^x,1/3=a^1,a=1/3
f(x)=(1/3)^x
f(n)-c=(1/3)^n-c,f(n-1)-c=(1/3)^(n-1)-c,
an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=(1/3)^n-(1/3)^(n-1)=-2(1/3)^n;
a1=f(1)-c=1/3-c=-2/3
c=1

Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n-1)
[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)-1]=0
∵bn>0 ∴√Sn+√S(n-1)≠0
∴√Sn-√S(n-1)=1
√S(n-1)-√S(n-2)=1
......
√S3-√S2=1
√S2-√S1=1

√Sn-√S1=1
√Sn=n-1+√S1=n-1+√c=n
Sn=n²
bn=n²-(n-1)²=2n-1

2、令cn=1/[bn*b(n+1)]
cn=1/[(2n-1)(2n+1)]=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
Tn=[1-1/(2n+1)]/2>1000/2009
1/(2n+1)<1-2000/2009=9/2009
2n+1>2009/9
n>1000/9
满足Tn＞1000/2009的最小整数n=112

Answer 2

f(x)=a^x,1/3=a^1,a=1/3
f(x)=(1/3)^x
f(n)-c=(1/3)^n-c,f(n-1)-c=(1/3)^(n-1)-c,
an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=(1/3)^n-(1/3)^(n-1)=-2(1/3)^n;

Sn-S(n-1)=√Sn+√S(n+1)

Answer 3

用编程写最简单