Question

求曲线y=xln(e+1/x) (x>0)的渐近线方程？

Answer 1

y=2/e
求渐近线的方法一般都是求极限。在本题中那当然是算x趋于无穷大时y的值了。
将函数的左右两边都加上底数e，则右边就可以去掉对数运算，变成（e+1/e）的x次方。下面就是求它的极限问题了。代换t=xe,则根据高等数学两个重要极限之一求得右边为e的2/e次方。这时两边再同时去掉底数e，得到y=2/e。
公式很难打，本题两个重要的地方，一是要在开始时加底数e，二是用变量替换的方法凑成重要极限。多算几次就明白了。

追问

如果存在水平渐近线，则当x→+∞或-∞时，dy/dx→0
dy/dx=ln(e+1/x)-(1/x)/(e+1/x)
当x→+∞或-∞时1/x→0，则lim(dy/dx)=lim[ln(e+1/x)-(1/x)/(e+1/x)]=ln(e+0)-0/(e+0)=1
即当x→+∞或-∞时，y(x)的斜率趋近于1，所以不存在y=C（C为一常数）的渐近线论
这怎么解释？

追答

你等会儿啊，我正在算。我觉得你极限求的不对。

追问

恩 算吧 顺便算下它的铅直渐近线存在不，我算下无穷小乘以无穷大然后纠结了 不知道这能算存在吗

追答

我把你的差式化成比式，然后求极限，发现还是1，但是我总觉得是0才对。等我下午用MATLAB把这个函数的图像画出来，大家看看它到底是怎么回事。