Question

证明函数y=x+x分之一在区间【1,+∞)上是增函数

Answer 1

证明，
在【1,+∞)上任取x1,x2.
设x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1*x2)
=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
=(x1-x2)(x1x2-1)/(x1x2)
1 ≤x1<x2
x1-x2<0,x1x2-1>0,x1x2>0
所以 f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以
函数y=x+x分之一在区间【1,+∞)上是增函数

Answer 2

当x=1时，y=2
当x>1时,y可以改写为 y= 2 + (x-1)/(1+1/(x-1))
(x-1)/(1+1/(x-1))这个分式的分子式在（1,+∞)上是增函数且大于0，分母式在（1,+∞)上是减函数且大于0，可知整个分式是增函数且大于0，所以
y=x+1/x 在[1，,+∞)上是增函数。

Answer 3

这个利用导数 在x=1以后往右导数必大于零

追问

导数？

追答

没学？你其实可以用增函数定义自己用x1和x2来自己作差比较，也能做。
但是当你高二以后学了导数会发现，用导数的眼光来看这个问题简直就是小儿科。