Question

设A为4*3的矩阵,η1η2η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解,k1k2为任意常数,则Ax=β的通解为?

答案是:1/2(η2+η3)+k1(η2-η1)+k2(η3-η1)
为什么不能选:1/2(η2+η3)+k1(η2-η1)

Answer 1

η1η2η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解
说明存在k1,k1,k2使得
k1η1+k1η2+k2η3＝0时
必须有k1=k2=k3=0
这就说明，AX=β的基础解系是2个，特解是1个
而1/2(η2+η3)+k1(η2-η1)只有一个基础解系，所以不是它的通解。

追问

谢谢,我能理解k1=k2=k3=0.
但是为什么这样AX=0的基础解系就是2个了呢?

追答

A为4*3的矩阵,它的基础解系最多是2个

追问

那为什么不是一个呀?

追答

因为你还有另外一个条件，η1η2η3是非齐次线性方程组AX=β的3个线性无关的解，有3个线性无关的解，明白了吗？

Answer 2

你的问题是为什么不是一个基础解系，因为构成基础解系的条件是除了是齐次方程的解外，还要基础解系之间构成最大线性无关组，η2-η1不是最大线性无关向量，因为η2-η1和η3-η1也是线性无关，而η2-η1，η3-η1，η3-η2三个（或其他组合）可以表示为(η2-η1)-(η3-η1)+(η3-η2)=0。系数不全为0，线性相关，所以基础解系是2个，而且题目所列答案不是唯一的。

Answer 3

r(A)≥1∴n-r(A)十1≤3 且已有η1η2η3，故n-r(A)十1≥3 ∴n-r(A)十1=3 故r(A)=1 n-r(A)=2 基础解系有2个