Question

如图所示。△ABC和△ADE都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

求证：（1）BD=CE；（2）BM=CN；（3）MN∥BE．（4）若P、Q分别是BD、CE的中点，试判断△PAQ的形状，并证明你的结论。

Answer 1

(1)因为△ABC和△ADE都是等边三角形，所以BA=CA，DA=EA，因为B、A、E在同一直线上，所以∠BAE=180°，因为∠BAC=∠DAE=60°，所以∠CAD=60°，所以∠BAD=∠CAE=120°，所以△BAD≌△CAE，所以BD=CE
(2)由（1）可知，△BAD≌△CAE，所以∠ABM=∠ACN。因为∠BAM=∠CAN=60°，BA=CA，所以△BAM≌△CAN，所以BM=CN
(3)由（2）可知，△BAM≌△CAN，所以AM=AN，又因为∠MAN=60°，所以△AMN为正三角形，所以∠AMN=60°，所以∠AMN=∠MAB，所以MN‖BE（内错角相等）
4证明aqe全等于dpa可得ap=aq dac=qae所以dap+daq=daq+qae=60所以等边